Question

8．如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點為A（0，$\sqrt{2}$），且離心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過點M（0，2）的直線l與橢圓相交于不同兩點P，Q，點N在線段PQ上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}=λ$，若直線l與y軸不重合，試求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出橢圓方程，利用橢圓的離心率，頂點坐標，轉化求解即可．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），設直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，通過韋達定理，化簡$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}$，利用點N在直線y=kx+2上，推出$λ=\frac{{2-{y_1}}}{{{y_1}-1}}=\frac{1}{{{y_1}-1}}-1$，然后求出結果．

解答 解：（1）設橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由于橢圓的一個頂點是$A（0，\sqrt{2}）$，故b²=2，根據離心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得a²=8，
所以橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
設直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
根據韋達定理得${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{8}{{1+4{k^2}}}$，
由$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}$，得$\frac{{0-{x_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}=\frac{{0-{x_2}}}{{{x_0}-{x_2}}}$，整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），把上面的等式代入得${x_0}=-\frac{1}{k}$，
又點N在直線y=kx+2上，所以${y_0}=k（-\frac{1}{k}）+2=1$，于是有$1＜{y_1}＜\sqrt{2}$，$λ=\frac{{2-{y_1}}}{{{y_1}-1}}=\frac{1}{{{y_1}-1}}-1$，由$1＜{y_1}＜\sqrt{2}$，得$\frac{1}{{{y_1}-1}}＞\sqrt{2}+1$，所以$λ＞\sqrt{2}$．
綜上所述，$λ＞\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．