Question

18．函數f（x）=（k-2）x²+2kx-3．
（Ⅰ）當k=4時，求f（x）在區間（-4，1）上的值域；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，+∞）上至少有一個零點，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在區間[1，2]上單調遞增，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據二次函數的性質求出函數在（-4，1）的值域即可；
（Ⅱ）通過討論k的范圍，集合二次函數的性質，確定k的范圍即可；
（Ⅲ）通過討論k的范圍，判斷函數的單調性，從而確定k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當k=4時，f（x）=2x²+8x-3=2（x+2）²-11，
f（x）的對稱軸是x=-2，f（x）在（-4，-2）遞減，在（-2，1）遞增，
所以f（x）_min=f（2）=-11，f（x）_max=f（1）=7，
所以f（x）的值域為[-11，7）-----------------------（3分）
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，+∞）上至少有一個零點，可分為以下三種情況：
①若k-2＞0即k＞2時，f（x）=（k-2）x²+2kx-3的對稱軸方程為$x=\frac{k}{2-k}＜0$，
又f（0）=-3＜0，由圖象可知f（x）在（0，+∞）上必有一個零點；----------------------（4分）
②若k-2=0即k=2時，f（x）=4x-3，令f（x）=0得$x=\frac{3}{4}＞0$，
知f（x）在（0，+∞）上必有一個零點$\frac{3}{4}$；----------------------（5分）
③若k-2＜0即k＜2時，要使函數f（x）在（0，+∞）上至少有一個零點，
則需要滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{2k}{2-k}＞0}\\{△=4{k^2}+12（k-2）≥0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{0＜k＜2}\\{k≥\frac{{-3+\sqrt{33}}}{2}或k≤\frac{{-3-\sqrt{33}}}{2}}\end{array}}\right.$，
所以$\frac{{-3+\sqrt{33}}}{2}≤k＜2$--------------------（7分）
綜上可知，若函數f（x）在（0，+∞）上至少有一個零點，k的取值范圍為$[\frac{{-3+\sqrt{33}}}{2}，+∞）$----------------------（8分）
（ III）①當k=2時，f（x）=4x-3在區間[1，2]上單增，所以k=2成立；-------（9分）
②當k＞2時，∵f（0）=-3＜0，顯然在f（x）在區間[1，2]上單增，所以k＞2也成立；
--------------------（10分）
③當k＜2時，∵f（0）=-3，∴必有$\frac{k}{2-k}≥2$成立，解得$\frac{4}{3}≤k＜2$．---------------（11分）
綜上k的取值范圍為$[\frac{4}{3}，+∞）$----------------------（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查二次函數的性質以及分類討論思想，是一道中檔題．