Question

5．如圖，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AB=2A₁B₁=2CC₁，M，N分別為AC，BC的中點．
（1）求證：AB₁∥平面C₁MN；
（2）若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C-MC₁-N的大小．

Answer 1

分析 （1）連接B₁N，B₁C，設B₁C與NC₁交于點G，推導出四邊形B₁C₁CN是平行四邊形，從而MG∥AB₁，由此能證明AB₁∥平面C₁MN．
（2）以點M為坐標原點，MA，MB，MA₁所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-MC₁-N的大小．

解答 證明：（1）連接B₁N，B₁C，
設B₁C與NC₁交于點G，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，
AB=2A₁B₁，則BC=2B₁C₁，
而N是BC的中點，B₁C₁∥BC，
則B₁C₁$\underset{∥}{=}$NC，所以四邊形B₁C₁CN是平行四邊形，G是B₁C的中點，
在△AB₁C中，M是AC的中點，則MG∥AB₁，
又AB₁?平面C₁MN，MG?平面C₁MN，
所以AB₁∥平面C₁MN．
解：（2）由CC₁⊥平面ABC，可得A₁M⊥平面ABC，
而AB⊥BC，AB=BC，則MB⊥AC，
所以MA，MB，MA₁兩兩垂直，
故以點M為坐標原點，MA，MB，MA₁所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
設AB=2，則A₁B₁=CC₁=1，AC=2$\sqrt{2}$，AM=$\sqrt{2}$，
B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），C₁（-$\sqrt{2}$，0，1），N（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
則平面ACC₁A₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設平面C₁MN的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=-\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{1}{2}$，
由圖形得得二面角C-MC₁-N為銳角，
所以二面角C-MC₁-N的大小為60°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．