Question

16．若正數a，b滿足ab=a+b+3．
（1）求ab的取值范圍．
（2）求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）正數a，b滿足ab=a+b+3，可得ab=a+b+3≥$2\sqrt{ab}$+3，解出即可得出．
（2）正數a，b滿足ab=a+b+3，可得a+b+3=ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，解出即可得出．

解答 解：（1）∵正數a，b滿足ab=a+b+3，
∴ab=a+b+3≥$2\sqrt{ab}$+3，即$（\sqrt{ab}）^{2}$-2$\sqrt{ab}$-3≥0，
解得$\sqrt{ab}$≥3，即ab≥9，當且僅當a=b=3時取等號，∴ab∈[9，+∞）．
（2）∵正數a，b滿足ab=a+b+3，∴a+b+3=ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
即（a+b）²-4（a+b）-12≥0，解得a+b≥6，當且僅當a=b=3時取等號，
∴a+b∈[6，+∞）．

點評 本題考查了基本不等式的性質、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．