Question

3．已知tanx=2．
（1）求$\frac{2}{3}$sin²x+$\frac{1}{4}$cos²x的值；    
（2）求2sin²x-sinxcosx+cos²x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數基本關系式可求cos2x的值，進而利用降冪公式即可化簡求值得解．
（2）由已知利用同角三角函數基本關系式可求sin2x，cos2x的值，進而利用二倍角公式，降冪公式即可化簡求值得解．

解答 解：tanx=2．
（1）∴cos2x=$\frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}$=$\frac{1-ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}$=$\frac{1-4}{1+4}$=-$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{2}{3}$sin²x+$\frac{1}{4}$cos²x=$\frac{2}{3}$×$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{7}{12}$．
（2）∵tanx=2，
∴sin2x=$\frac{2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{2tanx}{1+ta{n}^{2}x}$=$\frac{4}{5}$，
∴2sin²x-sinxcosx+cos²x=1-cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{5}$）-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{7}{5}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數基本關系式，二倍角公式，降冪公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．