Question

15．經過P（-1，2）且傾斜角為α的直線l與圓x²+y²=8的交點是A，B；
（1）當α=$\frac{π}{4}$時，求弦AB的長度；
（2）求當弦AB的長度最短時，直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）當α=45°時，求出直線的斜率，根據點斜式方程求直線AB的方程，即可求弦AB的長度；
（2）當弦AB最短時，等價為圓心到直線的距離最大，根據圓心到直線的距離公式即可求直線AB的方程．

解答 解：（1）α=45°時，直線AB的斜率為1，直線AB的方程為y-2=（x+1），
即x-y+3=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴弦AB的長度=2$\sqrt{8-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{14}$；
（2）由半弦長$\frac{1}{2}$|AB|、弦心距d、半徑r三者之間的關系式：
（$\frac{1}{2}$|AB|）²+d²=r²，知當|AB|最小時，d最大．
此時，OP₀⊥AB，直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，
所以直線AB的方程為y-2=$\frac{1}{2}$（x+1），
即x-2y+5=0．

點評 本題主要考查直線和圓的方程，利用直線和圓的位置關系是解決本題的關鍵．