Question

10．給出定義在（0，+∞）上的兩個函數f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a$\sqrt{x}$．
（1）若f（x）在x=1處取最值．求實數a的值；
（2）若函數h（x）=f（x）+g（x²）在區間（0，1]上單調遞減，求實數a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，試確定函數m（x）=f（x）-g（x）-6的零點個數，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導，根據f'（1）=0，即可求出a的值；
（2）函數h（x）=f（x）+g（x²）在區間（0，1]上單調遞減則h'（x）≤0，即4x-a（1+$\frac{1}{x}$）≤0在區間（0，1]上恒成立；
（3）根據m（x）的導函數零點判斷函數的單調性，再可取特征點判斷零點個數．

解答 解：（1）f'（x）=2x-$\frac{a}{x}$   由已知，f'（1）=0 即：2-a=0，
解得：a=2，經檢驗a=2滿足題意，
所以 a=2．
（2）h（x）=f（x）+g（x²）=x²-alnx+x²-ax=2x²-a（x+lnx）；
 h'（x）=4x-a（1+$\frac{1}{x}$）  要使得h（x）=2x²-a（x+lnx）在區間（0，1]上單調遞減，
則h'（x）≤0，即4x-a（1+$\frac{1}{x}$）≤0在區間（0，1]上恒成立；
因為x∈（0，1]，所以a≥$\frac{4{x}^{2}}{x+1}$；
設函數F（x）=$\frac{4{x}^{2}}{x+1}$，則   a≥F（x）_max；
F（x）=$\frac{4{x}^{2}}{x+1}$=$\frac{4}{（\frac{1}{x}）^{2}+\frac{1}{x}}$
因為x∈（0，1]，所以$\frac{1}{x}$∈[1，+∞），所以${（{{{（{\frac{1}{x}}）}^2}+\frac{1}{x}}）_{min}}=2$；
所以F（x）_max=2，所以a≥2．
（3）函數m（x）=f（x）-g（x）-6有兩個零點．因為m（x）=x²-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-6；
所以  m'（x）=$2x-\frac{2}{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{（\sqrt{x}-1）（2x\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}+2）}{x}$；
當x∈（0，1）時，m'（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，m'（x）＞0；
所以m（x）_min=m（1）=-4＜0，
m（e^-2）=$\frac{（1-e）（1+e+2{e}^{3}）}{{e}^{4}}$＜0，$m（{e^{-4}}）=\frac{{1+2{e^8}+{e^4}（2{e^2}-1）}}{e^8}＞0$；
m（e⁴）=e⁴（e⁴-1）+2（e²-7）＞0 故由零點存在定理可知：
函數m（x）在 （e^-4，1）存在一個零點，函數m（x）在（1，e⁴） 存在一個零點，
所以函數m（x）=f（x）-g（x）-6有兩個零點．

點評 本題主要考查了導數的定義，函數的單調性與導函數的關系以及根據函數單調性判斷零點個數，屬中等題．