Question

5．已知函數f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求函數f（x）在區間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數f（x）化簡成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的ω的值，
（2）當x∈[0，$\frac{2π}{3}$]上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值．可得函數f（x）取值范圍．

解答 解：由題意：函數f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）
化簡函數f（x）=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
∵最小正周期為π，即$\frac{2π}{2ω}=π$，解得：ω=1．
∴ω的值為：1．
∴函數f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
當x∈[0，$\frac{2π}{3}$]上時，2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
根據正弦函數的圖象及性質：
可知：當2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$時，函數f（x）取得最小值為sin（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0；
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為sin（$\frac{π}{2}$）$+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
∴當x∈[0，$\frac{2π}{3}$]上時，函數f（x）的取值范圍是[0，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵