Question

14．已知方程$\frac{x^2}{a+4}$+$\frac{y^2}{a+5}$=1
（Ⅰ）若方程表示雙曲線，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的雙曲線的兩個焦點為F₁，F₂，若橢圓C：x²+$\frac{y^2}{m}$=1（m＞0）的兩個焦點也為F₁，F₂，且點P在橢圓C上，求△PF₁F₂的周長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據雙曲線的標準方程是一正一負的關系即可求．
（Ⅱ）利用橢圓與雙曲的交點相同，求出橢圓的方程，利用橢圓是的任一點到兩個距離之和為2a，再加焦距可得△PF₁F₂的周長．

解答 解：（Ⅰ）根據雙曲線的標準方程是一正一負的關系，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4＞0}\\{a+5＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+4＜0}\\{a+5＞0}\end{array}\right.$，
解得：-5＜a＜-4．
所以方程$\frac{x^2}{a+4}$+$\frac{y^2}{a+5}$=1，表示雙曲線，a的取值范圍是（-5，-4）．
（Ⅱ）由題意：橢圓與雙曲的交點相同，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0）．即c=1．
∵橢圓C：x²+$\frac{y^2}{m}$=1（m＞0），c=1．
∴a≠1，故而a=$\sqrt{m}$，b=1，焦點在y軸上．
∴m=$\sqrt{2}$．
又∵點P在橢圓C上，
∴△PF₁F₂的周長=2a+2c=$2\sqrt{2}+2$．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程的形式和橢圓的焦點c與a，b的關系以及橢圓的定義．屬于基礎題．