Question

1．若函數f（x）同時滿足：
①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0
②對于定義域上的任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，則稱函數f（x）為“理想函數”．
給出下列四個函數中：
①$f（x）=\frac{1}{x}$；
②f（x）=x²； 
③f（x）=-x；
④$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}}&{x≥0}\\{{x^2}}&{x＜0}\end{array}}\right.$
能被稱為“理想函數”的有（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 判斷出基本初等函數的奇偶性和單調性說明①②不是“理想函數”，③是“理想函數”；作出④的圖象，由圖象可得奇偶性與單調性說明④是“理想函數”．

解答 解：由①知，函數為奇函數；由②知，函數為單調函數．
則即是奇函數又是單調函數的函數為“理想函數”．
對于①，f（x）=$\frac{1}{x}$是奇函數，但不是單調函數，故①不是“理想函數”；
對于②，f（x）=x²，是偶函數，故②不是“理想函數”；
對于③，f（x）=-x，是奇函數，又是定義域內的減函數，故③是“理想函數”；
對于④，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，作函數的圖象如圖：
由圖可知，函數是“理想函數”．
∴能被稱為“理想函數”的有2個，
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了函數奇偶性和單調性的判定，是基礎題．