Question

13．設函數$f（x）=\frac{{a{x^2}-b}}{x}$，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0，則f（x）的解析式為f（x）=x-$\frac{3}{x}$．

Answer 1

分析 首先對f（x）求導，再利用 f'（2）=$\frac{7}{4}$，f（2）=$\frac{1}{2}$列出方程組，即可求出a與b值．

解答 解：∵f（x）=ax-$\frac{b}{x}$，∴f'（x）=a+$\frac{b}{{x}^{2}}$
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0
∴切點為（2，$\frac{1}{2}$）
∴f'（2）=$\frac{7}{4}$，f（2）=$\frac{1}{2}$
∴a+$\frac{b}{4}$=$\frac{7}{4}$；2a-$\frac{b}{2}$=$\frac{1}{2}$
∴a=1，b=3
∴f（x）=x-$\frac{3}{x}$
故答案為：f（x）=x-$\frac{3}{x}$

點評 本題主要考查了利用導數求切線方程，以及對切線斜率的理解，屬基礎題．