Question

11．已知直線l₁：y=x+a分別與直線l₂：y=2（x+1）及曲線C：y=x+lnx交于A，B兩點，則A，B兩點間距離的最小值為（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
• B． 3
• C． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出A，B坐標，利用距離公式得出|AB|²關于a的函數，利用導數判斷函數單調性得出函數的最小值．

解答 解：聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{y=2（x+1）}\end{array}\right.$，解得A（a-2，2a-2），
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{y=x+lnx}\end{array}\right.$，解得B（e^a，e^a+a），
∴|AB|²=2（e^a-a+2）²，
令f（a）=e^a-a+2，則f′（a）=e^a-1，
∴當a＜0時，f′（a）＜0，當a＞0時，f′（a）＞0，
∴f（a）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
∴f（a）≥f（0）=3，
∴當f（a）=3時，|AB|²取得最小值18．
∴|AB|的最小值為$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．
故選D．

點評 本題考查利用導數判斷函數單調性與函數最值的計算，屬于中檔題．