Question

9．已知直線l₁：y=-$\frac{3}{2}$x+b于拋物線x²=-$\frac{16}{3}$y相切于點P．
（Ⅰ）求實數b的值和切點P的坐標；
（Ⅱ）若另一條直線l₂經過上述切點P，且與圓C：（x+1）²+（y+2）²=25相切，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯立直線l₁：y=-$\frac{3}{2}$x+b于拋物線x²=-$\frac{16}{3}$y，消去y得3x²-24x+16b=0，利用△=0，求實數b的值和切點P的坐標；
（Ⅱ）分類討論，利用直線與圓C：（x+1）²+（y+2）²=25相切，求直線l₂的方程．

解答 解：（Ⅰ）聯立直線l₁：y=-$\frac{3}{2}$x+b于拋物線x²=-$\frac{16}{3}$y，消去y得3x²-24x+16b=0，
由題意知，△=576-4×3×16b=0，∴b=3          …（3分）
此時3x²-24x+16b=0就是3x²-24x+48=0，x=4代入直線l₁：y=-$\frac{3}{2}$x+b中，得到y=-3，
因此切點P的坐標是（4，-3）…（6分）
（Ⅱ）（1）若直線l₂的斜率存在，則可以設直線l的方程為y+3=k（x-4），
即kx-y-4k-3=0，于是$\frac{|-k+2-4k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解得k=$\frac{12}{5}$，
故直線l的方程為12x-5y-63=0     …（9分）
（2）若直線l的斜率不存在，則l的方程為x=4，它與⊙C相切，滿足條件．
因此，直線l的方程是x=4或12x-5y-63=0．…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線、直線與圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．