Question

15．（1）解不等式$\frac{x+5}{{{{（x-1）}^2}}}＞2$；
（2）若不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）的解集為R，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將原不等式化簡變形可得2x²-5x-3＜0，且x-1≠0，再由二次不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）討論二次項的系數和判別式的符號，結合二次函數的圖象和不等式的解法，計算即可得到所求范圍．

解答 解：（1）不等式$\frac{x+5}{{{{（x-1）}^2}}}＞2$，
等價為$\frac{x+5}{（x-1）^{2}}$-2＞0，
即為$\frac{2{x}^{2}-5x-3}{（x-1）^{2}}$＜0，
可得2x²-5x-3＜0，且x-1≠0，
解得-$\frac{1}{2}$＜x＜3且x≠1，
則原不等式的解集為{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜3且x≠1}；
（2）不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）的解集為R，
當k＜0時，判別式△＜0，
即有4-24k²＜0，即為k＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$或k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
則k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
當k＞0時，原不等式的解集不為R．
綜上可得k的取值范圍為（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）．

點評 本題考查分式不等式的解法，注意等價變形，考查二次不等式恒成立問題的解法，注意討論二次項的系數，考查運算能力，屬于中檔題．