Question

5．已知函數y=sin x的圖象經過以下變換后得到y=f（x）的圖象：先向右平移 $\frac{π}{4}$； 然后縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍； 最后橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的3倍；
（Ⅰ）寫出函數y=f（x）的解析式，并求其單調增區間；
（Ⅱ）用“五點法”在給定的坐標系中作出函數的一個周期的圖象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據三角函數圖象平移法則，得出函數y=f（x）的解析式，利用正弦函數的圖象與性質求出f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）利用列表、描點、連線的方法得出函數在一個周期的圖象．

解答 解：（Ⅰ）函數y=sin x的圖象向右平移 $\frac{π}{4}$，得到y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的圖象；
縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到y=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）的圖象；
橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的3倍，得到y=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）的圖象；
∴函數y=f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{2}$+4kπ≤x≤$\frac{3π}{2}$+4kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調增區間為[-$\frac{π}{2}$+4kπ，$\frac{3π}{2}$+4kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）列表如下；

$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）	0	3	0	-3	0

用“五點法”在給定的坐標系中作出函數的一個周期的圖象如圖所示；

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也l考查了圖象平移與五點法畫圖的問題，是基礎題．