Question

10．已知函數f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x+a（a∈R，a為常數）．
（1）求函數的最小正周期和函數的單調遞增區間；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最小值，即得到a的值．

解答 解：函數f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x+a（a∈R，a為常數）．\
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+cos2x+a
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a
（1）∴函數的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，
∴函數f（x）的單調遞增區間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）由f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，
可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，f（x）取得最小值為2×$（-\frac{1}{2}）$+a=a-1．
∴a-1=-2，
故得a=-1．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．