Question

19．設等差數列{a_n}的公差為d＞1，前n項和為S_n，等比數列{b_n}的公比為q．已知b₁=a₁，b₂=2，q=d，S₁₀=100．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出數列的首項與公差，然后求解通項公式．
（2）化簡數列的通項公式，然后利用錯位相減法求和即可．

解答 （本小題（12分），第1小題（6分），第2小題6分）
解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+45d=100}\\{{a}_{1}d=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=9}\\{d=\frac{2}{9}}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=2n-1，b_n=2^n-1．
（2）∵${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，c_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=$1+\frac{3}{2}+\frac{5}{{2}^{2}}+\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$…①，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+\frac{9}{2^5}+…+\frac{2n-1}{2^n}$…②
①-②可得$\frac{1}{2}{T_n}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$，
故T_n=$6-\frac{2n+3}{{{2^{n-1}}}}$．（12分）

點評 本題考查數列的通項公式的求法，等差數列以及等比數列的應用，考查數列求和的方法，是中檔題．