Question

7．曲線y=ln（2x+1）上的點到直線2x-y+3=0的最短距離為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用導數求出與直線2x-y+3=0平行的直線與曲線y=ln（2x+1）的切點坐標，再由點到直線的距離公式求解．

解答 解：由y=ln（2x+1），得y′=$\frac{2}{2x+1}$，
設與直線2x-y+3=0平行的直線切曲線y=ln（2x+1）于點（x₀，y₀），
則$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{2}{2{x}_{0}+1}$，
由$\frac{2}{2{x}_{0}+1}=2$，得x₀=0，
∴切點坐標為（0，0），
則曲線y=ln（2x+1）上的點到直線2x-y+3=0的最短距離為$\frac{|3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查點到直線距離公式的應用，是中檔題．