Question

12．已知x¹⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀（x-1）¹⁰ 求：
（1）a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₉
（2）a₀+a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀
（3）a₀，a₁，a₂，…，a₁₀ 中的最大項的值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據最高次系數得出a₁₀=1，令x=2即可得出a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₉
（2）令x=1可得奇數項系數的和與偶數項系數的和相等，結合（1）即可得出答案；
（3）根據二項式定理可知a₅最大，a₅=${C}_{10}^{5}$．

解答 解：（1）等式右邊x¹⁰的系數為a₁₀，∴a₁₀=1．
把x=2代入等式得2¹⁰=a₀+a₁+a₂+…+a₁₀，
∴a₀+a₁+a₂+…+a₉=2¹⁰-1=1023．
（2）把x=0代入等式得0=a₀-a₁+a₂+…-a₉+a₁₀，
∴a₁+a₃+…+a₉=a₀+a₂+…a₁₀，
又a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=2¹⁰，
∴a₀+a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=2⁹=512．
（3）∵x¹⁰=[（x-1）+1]¹⁰，
∴a_r=${C}_{10}^{10-r}$，
∴當r=5時，a_r最大，最大值為${C}_{10}^{5}$=252．

點評 本題考查了二項式定理，選擇合適的x值是解答本題的關鍵，屬于中檔題．