Question

17．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊長(zhǎng)度分別為a，b，c，已知點(diǎn)O為該三角形的外接圓圓心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AC，AB的中點(diǎn)，則OD：OE：OF=（　　）

• A． a：b：c
• B． $\frac{1}{a}：\frac{1}{b}：\frac{1}{c}$
• C． sinA：sinB：sinC
• D． cosA：cosB：cosC

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)O為該三角形的外接圓圓心，半徑為R，利用勾股定理求出OD，OE，OF，即可求出OD：OE：OF的值．

解答 解：由題意，點(diǎn)O為該三角形的外接圓圓心，設(shè)半徑為R，則OA=OB=OC=R，
∵D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AC，AB的中點(diǎn)．
∴OD²=R²-$（\frac{a}{2}）^{2}$，OE²=R²-$（\frac{b}{2}）^{2}$，OF²=R²-$（\frac{c}{2}）^{2}$．
那么OD²：OE²：OF²=（$\frac{{a}^{2}}{4si{n}^{2}A}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$）²：（$\frac{{b}^{2}}{4si{n}^{2}B}$-$\frac{{b}^{2}}{4}$）²：（$\frac{{c}^{2}}{4si{n}^{2}C}$-$\frac{{c}^{2}}{4}$）²
開(kāi)方化簡(jiǎn)：OD：OE：OF=$\frac{acosA}{sinA}$：$\frac{bcosB}{sinB}$：$\frac{ccosC}{sinC}$
由正弦定理可得：OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)和正弦定理的運(yùn)用．屬于中檔題．