Question

5．已知函數f（x）=aln（x+1）-x²，任意x₁，x₂∈（0，1），x₁＞x₂時，都有f（x₁+1）-f（x₂+1）＞x₁-x₂成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． a≥15
• B． a＞15
• C． a＜5
• D． a≤5

Answer 1

分析 問題轉化為y=f（x+1）-x=aln（x+2）-x²-3x-1在（0，1）上遞增，求出函數的導數，問題轉化為a≥（x+2）（2x+3）在（0，1）恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：f（x₁+1）-f（x₂+1）＞x₁-x₂成立，
即f（x₁+1）-x₁＞f（x₂+1）-x₂，x₁，x₂∈（0，1）恒成立，
∴y=f（x+1）-x=aln（x+2）-x²-3x-1在（0，1）上遞增，
∴y′≥0恒成立即a≥（x+2）（2x+3）在（0，1）恒成立，
∵（x+2）（2x+3）＜15，
∴a≥15，
故選：A．

點評 本題考查導數的應用，函數的恒成立問題，以及利用函數的單調性求函數的最值．