Question

15．函數f（x）=x³+ax²+（a-3）x（a∈R）的導函數是f'（x），若f'（x）是偶函數，則以下結論正確的是（　　）

• A． y=f（x）的圖象關于y軸對稱
• B． y=f（x）的極小值為-2
• C． y=f（x）的極大值為-2
• D． y=f（x）在（0，2）上是增函數

Answer 1

分析 先求出函數的導數，再利用偶函數的性質f（-x）=f（x）建立等式關系，解之即可．

解答 解：對f（x）=x³+ax²+（a-3）x求導，
得f′（x）=3x²+2ax+a-3，
又f′（x）是偶函數，即f′（x）=f′（-x），
即3x²+2ax+a-3=3x²-2ax+a-3，
化簡得a=0，
∴f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=0，即3x²-3=0，∴x=±1
令f′（x）＞0得函數的單調增區間為（-∞，-1），（1，+∞）
令f′（x）＜0得函數的單調減區間為（-1，1）
∴函數在x=1時取得極小值為：-2，極大值為2
故選：B．

點評 本題以函數為載體，考查導數的運用，考查利用導數求函數的單調區間與極值，解題的關鍵是利用函數的性質求出函數的解析式．