Question

13．已知數列2008，2009，1，-2008，…若這個數列從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數列的前2017項之和S₂₀₁₇等于（　　）

• A． 0
• B． 2008
• C． 2017
• D． 4017

Answer 1

分析 由題意a_n+1=a_n+a_n+2，從而a_n+3=-a_n，進而得到該數列的周期為6，由此能求出結果．

解答 解：設該數列為{a_n}，從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，
即a_n+1=a_n+a_n+2，
則a_n+2=a_n+1+a_n+3，
兩式相加，得a_n+3+a_n=0，即a_n+3=-a_n，
∴a_n+6=-a_n+3=-（-a_n）=a_n，
∴該數列的周期為6，
∵a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=2008+2009+1-2008-2009-1=0，
∴S₂₀₁₇=336×（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+a₁=0+2008=2008．
故選：B．

點評 本題考查數列的前期017項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數列的周期性質的合理運用．