Question

3．設函數f（x）=x³+3ax²-9x+5，若f（x）在x=1處有極值．
（1）求實數a的值；
（2）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）在x=1時取極值，則求出f′（x）得到f′（1）=0，解出求出a即可．
（2）利用函數的導數，判斷函數的單調性求解函數的極值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+6ax-9，f（x）在x=1時取得極值，
∴f′（1）=3+6a-9=0
∴a=1．
（2）由（1）可得f′（x）=3x²+6x-9=3（x-1）（x+3）．
函數的極值點為x=1，x=-3，
當x＜-3，或x＞1時，函數是增函數，x∈（-3，1）時，函數是減函數，
x=-3函數取得極大值，極大值為：f（-3）=32，
x=1時，函數取得極小值，極小值為：f（1）=0．

點評 本題考查學生利用導數研究函數極值的能力，考查學生的計算能力，是中檔題．