Question

8．在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD與CDEF是邊長均為a的正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，H是BC上一點，且AB=2BG=4BH 
（1）求證：平面AGH⊥平面EFG
（2）若a=4，求三棱錐G-ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理逆定理證明GH⊥FG，根據CD⊥平面BCFG，CD∥EF得EF⊥GH，故而GH⊥平面EFG，于是平面AGH⊥平面EFG；
（2）根據GB∥CF∥DE得出BG∥平面ADE，故V_G-ADE=V_B-ADE=V_E-ABD=V_F-ABD．

解答 證明：（1）連接FH，
∵CD⊥BC，CD⊥CF，
∴CD⊥平面BCFG． 又∵GH?平面BCFG，
∴CD⊥GH． 又∵EF∥CD，
∴EF⊥GH，
∵AB=2BG=4BH=a，
∴GH=$\sqrt{B{G}^{2}+B{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{4}$，FH=$\sqrt{F{C}^{2}+H{C}^{2}}$=$\frac{5a}{4}$，GF=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}a}{2}$，
∴FH²=FG²+GH²，
∴GH⊥FG．
又∵EF∩FG=F，EF?平面EFG，FG?平面EFG，
∴GH⊥平面EFG．又GH?平面AGH，
∴平面AGH⊥平面EFG．
解：（2）∵CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，
∴CF∥BG，又∵ED∥CF，
∴BG∥ED，又BG?平面ADE，DE?平面ADE，
∴BG∥平面ADE，
∴V_G-ADE=V_B-ADE=V_E-ABD=V_F-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•CF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{4}^{2}×4$=$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．