Question

10．（1）三個方程：x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0中至多有二個方程有實根，求實數a的取值范圍．
（2）已知虛數z在復平面上對應點Z，若z+$\frac{1}{z}$∈R，求點Z的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）先求三個方程均有實根的情況$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}=16{a}^{2}-4（3-4a）≥0}\\{{△}_{2}=（a-1）^{2}-4{a}^{2}≥0}\\{{△}_{3}=（2a）^{2}+8a≥0}\end{array}\right.$，解得a的范圍，進而得出．
（2）令z=x+yi（y≠0），設Z（x，y），z+$\frac{1}{z}$=x+yi+$\frac{1}{x+yi}$=x+$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$（y-\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}）$i∈R．可得$y-\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=0．

解答 解：（1）先求三個方程均有實根的情況$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}=16{a}^{2}-4（3-4a）≥0}\\{{△}_{2}=（a-1）^{2}-4{a}^{2}≥0}\\{{△}_{3}=（2a）^{2}+8a≥0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a≤-\frac{3}{2}或a≥\frac{1}{2}}\\{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{a≤-2或a≥0}\end{array}\right.$，
則解集為∅，
故所求a的取值范圍是a∈R．
（2）令z=x+yi（y≠0），
設Z（x，y），z+$\frac{1}{z}$=x+yi+$\frac{1}{x+yi}$=x+$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$（y-\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}）$i∈R．
∴$y-\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=0，可得x²+y²=1，y≠0，
Z的軌跡方程為x²+y²=1，y≠0．

點評 本題考查了復數的運算法則、反證法、復數為實數的充要條件、一元二次方程有實數根的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．