Question

7．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+2，x≤2\\{log_2}x，x＞2\end{array}\right.$，若?x₀∈R，使得$f（{x_0}）≤5m-4{m^2}$成立，則實數m的取值范圍為（　　）

• A． $[{-1，\frac{1}{4}}]$
• B． $[{\frac{1}{4}，1}]$
• C． $[{-2，\frac{1}{4}}]$
• D． $[{\frac{1}{3}，1}]$

Answer 1

分析 求出分段函數的最小值，然后求解不等式的解集即可．

解答 解：函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+2，x≤2\\{log_2}x，x＞2\end{array}\right.$，當x≤2時，函數是二次函數的一部分，二次函數的對稱軸x=1，函數的最小值為：1．當x＞2時．y=log₂x＞1，
若?x₀∈R，使得$f（{x_0}）≤5m-4{m^2}$成立，
可得1≤5m-4m²，解得m∈$[\frac{1}{4}，1]$．
故選：B．

點評 本題考查分段函數的應用，函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．