Question

3．已知函數f（x）=4x³+ax²+bx+5的圖象在x=1處的切線方程為y=-12x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，利用圖象在x=1處的切線方程為y=-12x，可得f′（1）=12+2a+b=-12，且4+a+b+5=-12，聯立求出a，b得答案；
（2）把a，b代入導函數，再由導函數大于0求解一元二次不等式得y=f（x）的單調遞增區間．

解答 解：（1）由f（x）=4x³+ax²+bx+5，得f′（x）=12x²+2ax+b，
∴f′（1）=12+2a+b=-12，且4+a+b+5=-12，
聯立上兩式解得：a=-3，b=-18．
∴f（x）=4x³-3x²-18x+5；
（2）把a=-3，b=-18代入f′（x）=12x²+2ax+b，
得f′（x）=12x²-6x-18，
由f′（x）=12x²-6x-18＞0，得x＜-1或x＞$\frac{3}{2}$．
∴y=f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）∪（$\frac{3}{2}，+∞$）．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數研究函數的單調性，是中檔題．