Question

11．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分別為AB，AC中點．
（1）求證：DE∥平面PBC；
（2）求證：AB⊥PE；
（3）求三棱錐P-BEC的體積．

Answer 1

分析 （1）利用中位線定理即可得出DE∥BC，故而DE∥平面PBC；
（2）連結(jié)PD，又AB⊥PD，AB⊥DE得出AB⊥平面PAB，故而AB⊥PE；
（3）利用面面垂直的性質(zhì)得出PD⊥平面ABC，計算PD，則V_P-BCE=$\frac{1}{2}$V_P-ABC．

解答 證明：（1）∵D，E分別為AB，AC的中點，
∴DE∥BC，
又DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（2）連接PD，
∵DE∥BC，又∠ABC=90°，
∴DE⊥AB，
又PA=PB，D為AB中點，
∴PD⊥AB，
又PD∩DE=D，PD?平面PDE，DE?平面PDE，
∴AB⊥平面PDE，又PE?平面PDE，
∴AB⊥PE．
（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD?平面PAB，
∴PD⊥平面ABC，
∵△PAB是邊長為2的等邊三角形，∴PD=$\sqrt{3}$，
∵E是AC的中點，
∴${V_{P-BEC}}=\frac{1}{2}{V_{P-ABC}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．