Question

對于以下命題：
①|

a

|-|

b

|=|

a

+

b

|是

a

，

b

共線的充要條件；
②對空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若

OP

=2

OA

-

OB

+

OC

，則P、A、B、C四點共面．
③如果

a

•

b

＜0，那么

a

與

b

的夾角為鈍角
④若{

a

，

b

，

c

}為空間一個基底，則{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}構成空間的另一個基底；
⑤若

m

=

a

-2

b

+3

c

，

n

=-2

a

+4

b

-6

c

，則

m

∥

n

．
其中不正確結論的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：平面向量及應用

分析：利用不等式|

a

|-|

b

|=|

a

+

b

|?

a

，

b

方向相反，可判斷判斷①；
利用共面向量定理判斷②是否正確；
利用

a

•

b

＜0，那么

a

與

b

的夾角為鈍角或平角，來判斷③是否正確；
根據不共面的三個向量可構成空間一個基底，結合共面向量定理，用反證法證明即可判斷④；
根據向量共線的充要條件，可判斷⑤

解答： 解：對于①，|

a

|-|

b

|=|

a

+

b

|?

a

，

b

方向相反，故|

a

|-|

b

|=|

a

+

b

|是

a

，

b

共線的充分不必要條件，故錯誤；
對于②，對空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若

OP

=2

OA

-

OB

+

OC

，∵2-2-1=-1≠1，根據共面向量定理P、A、B、C四點不共面，故錯誤．
對于③，如果

a

•

b

＜0，那么

a

與

b

的夾角為鈍角或平角，故錯誤；
對于④，用反證法，若{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}不構成空間的一個基底；
設

a

+

b

=x（

b

+

c

）+（1-x）（

c

+

a

）⇒x

a

=（x-1）

b

+

c

⇒

c

=x

a

+（1-x）

b

，即

a

，

b

，

c

共面，∵{

a

，

b

，

c

}為空間的一個基底，故正確；
對于⑤，若

m

=

a

-2

b

+3

c

，

n

=-2

a

+4

b

-6

c

，則

m

=-

1

2

n

，則

m

∥

n

，故正確．
故不正確結論的序號是：①②③，
故答案為：①②③

點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查空間向量的共線向量定理、共面向量定理及向量的數量積公式．