Question

已知函數f（x）=

sinπx，x＜0 f(x-1)+1，x≥0

，下列說法正確的個數是（　　）
（1）f（

1

3

）=-

3

2

+1； 
（2）函數f（x）是周期函數； 
（3）方程f（x）=x在[-3，3]上的實數解的個數為8； 
（4）函數y=f（x）在區間（

1

6

，

1

2

）上是增函數．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意作出分段函數f（x）=

sinπx，x＜0 f(x-1)+1，x≥0

，從而確定函數的性質．

解答： 解：（1）f（

1

3

）=f（-

2

3

）+1=sin（-

2

3

π）+1=-

3

2

+1； 故正確；
（2）由f（x）=f（x-1）+1知，函數f（x）不是周期函數； 故錯誤；
（3）方程f（x）=x在[-3，3]上的實數解的個數即f（x）與y=x的交點的個數，如下圖，

故有4個交點，（注意端點取不到）； 故錯誤；
（4）由圖知，函數y=f（x）在區間（

1

6

，

1

2

）上是減函數，故錯誤．
故選A．

點評：本題考查了分段函數的圖象與性質應用，屬于中檔題．