Question

18．如圖，在棱臺ABC-FED中，△DEF與△ABC分別是棱長為1與2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四邊形BCDE為直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N為CE中點，$\frac{|AM|}{|AF|}$=λ（λ∈R，λ＞0）．
（Ⅰ）是否存在實數(shù)λ使得MN∥平面ABC？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）在 （Ⅰ）的條件下，求直線AN與平面BMN所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）當M為AF的中點時，取CD的中點P，則可證平面PMN∥平面ABC，故而MN∥平面ABC；
（2）取BC中點O，連OA，OE，建立空間坐標系，求出平面BMN的法向量和$\overrightarrow{AN}$的坐標，計算$\overrightarrow{AN}$與法向量的夾角得出答案．

解答 解：（1）當$λ=\frac{1}{2}$，即M為AF中點時MN∥平面ABC，
證明：取CD中點P，連PM，PN，
∵M，N，P分別是AF，CE，CD的中點，
∴PM∥AC，NP∥DE∥BC，
又PM∩PN=N，AC∩BC=C，
∴平面MNP∥平面ABC，
又MN?平面MNP，
∴MN∥平面ABC．
（2）取BC中點O，連OA，OE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AO⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AO?平面ABC，
∴AO⊥平面BCDE，
∵DE=$\frac{1}{2}$BC=OC，DE∥OC，BC⊥CD，
∴四邊形OCDE是矩形，
∴OE⊥BC．
以O(shè)為原點，以O(shè)E，OB，OA為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示：
∴A（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，1，0），C（0，-1，0），E（1，0，0），
∴$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$=（0，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴F（1，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），N（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{BN}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0），
設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，z）$為平面BMN的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}y+\frac{3\sqrt{3}}{4}z=0}\\{\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令y=1得$\overrightarrow{n}$=（3，1，-$\frac{\sqrt{3}}{9}$），∴cos＜$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AN}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{4}{3}}{\sqrt{\frac{7}{2}}•\sqrt{\frac{271}{27}}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{1897}}$．
∴直線AN與平面MNB的正弦值為$\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{1897}}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．