Question

7．平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{12}=1$，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程是ρ=2cosθ-4sinθ．
（Ⅰ）寫出C₁的參數方程和C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設C₂與x軸的一個交點是P（m，0）（m＞0），經過P斜率為1的直線l交C₁于A，B兩點，根據（Ⅰ）中你得到的參數方程，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁的普通方程能求出曲線C₁的參數方程，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）求出P（2，0），寫出l的方程是x-y-2=0，$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$代入x-y-2=0得$cos（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$．可得α=2kπ（k∈Z）或$α=2kπ-\frac{2π}{3}（k∈{Z}）$，于是A（2，0），B（-1，-3），即可求解．

解答 解：（Ⅰ）C₁的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α為參數）．
因為ρ=2cosθ-4sinθ，所以ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，
C₂的直角直角坐標方程是x²+y²-2x+4y=0．…（5分）
（Ⅱ）y=0代入x²+y²-2x+4y=0得x=0或x=2，所以P（2，0），l的方程是x-y-2=0
.$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$代入x-y-2=0得$cos（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$．
所以α=2kπ（k∈Z）或$α=2kπ-\frac{2π}{3}（k∈{Z}）$，
于是A（2，0），B（-1，-3），故$|AB|=3\sqrt{2}$．…（10分）

點評 本題考查了極坐標、參數方程，考查了轉化思想，計算能力，屬于中檔題．