Question

12．已知曲線C在平面直角坐標系xOy下的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系．
（1）求曲線C的普通方程及極坐標方程；
（2）直線l的極坐標方程是$ρcos（θ-\frac{π}{6}）=3\sqrt{3}$，射線OT：$θ=\frac{π}{3}（ρ＞0）$與曲線C交于點A與直線l交于點B，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數方程消去參數，能求出曲線C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C的極坐標方程．
（2）聯立方程給求出射線OT與曲線C的交點A的極坐標為（2，$\frac{π}{3}$），射線OT與直線l的交點B的極坐標為（6，$\frac{π}{3}$），由此能求出|AB|．

解答 解：（1）因為曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），
消去參數t得曲線C的普通方程為（x-1）²+y²=3，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-2=0．
（2）聯立$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}-2ρcosθ-2=0}\\{θ=\frac{π}{3}（ρ＞0）}\end{array}\right.$，得ρ²-ρ-2=0，
由ρ＞0解得ρ=2，
∴射線OT與曲線C的交點A的極坐標為（2，$\frac{π}{3}$），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{ρcos（θ-\frac{π}{6}）=3\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{3}（ρ＞0）}\end{array}\right.$，得ρ=6，
故射線OT與直線l的交點B的極坐標為（6，$\frac{π}{3}$），
∴|AB|=|ρ_B-ρ_A|=4．

點評 本題考查曲線的極坐標的求法，考查參數方程、極坐標方程、直角坐標方程等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．