Question

2．已知P是邊長為2的等邊三角形ABC的邊BC上的動點，則$\overrightarrow{AP}•（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）$的值下列判斷正確的是（　　）

• A． 有最大值為8
• B． 是定值8
• C． 有最大值為6
• D． 是定值6

Answer 1

分析 作AD⊥BC，則$\overrightarrow{AP}•（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）$=$\overrightarrow{AP}•2\overrightarrow{AD}$，根據數量積的定義式計算．

解答 解：設BC的中點為D，則AD⊥BC，
∴|AP|cos∠PAD=AD，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴AD=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AP}•（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）$=$\overrightarrow{AP}•2\overrightarrow{AD}$=2×|AD|×|AP|×cos∠PAD=2×$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=6．
故選D．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于基礎題．