Question

11．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（x+1）=f（1-x）且當x∈[0，1]時，f（x）=log₂（x+1），則f（31）=-1．

Answer 1

分析 根據函數奇偶性和條件求出函數是周期為4的周期函數，利用函數周期性和奇偶性的關系進行轉化即可得到結論．

解答 解：∵奇函數f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），
∴f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），即有f（x+2）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函數f（x）是周期為4的函數，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=log₂（x+1），
∴f（31）=f（32-1）=f（-1）=-f（1）=-log₂2=-1，
故答案為：-1．

點評 本題主要考查函數值的計算，根據條件求出函數的周期性，利用函數的奇偶性和周期性進行轉化是解決本題的關鍵．