Question

6．已知函數f（x）=lnx+$\frac{2a}{x+1}$，a∈R．
（Ⅰ）若函數f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設m＞n＞0，求證：lnm-lnn＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，問題轉化為f′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即2-2a≥-（x+$\frac{1}{x}$），根據函數的單調性求出a的范圍即可；
（Ⅱ）由f（x）=lnx+$\frac{4}{x+1}$在（0，+∞）遞增，得到f（$\frac{m}{n}$）＞f（1），即ln$\frac{m}{n}$+$\frac{4}{\frac{m}{n}+1}$＞2，整理即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+$\frac{2a}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-2a）x+1}{{x（x+1）}^{2}}$，
要使函數f（x）在（0，+∞）遞增，
只需f′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
∵x（x+1）²＞0，
∴只需x²+（2-2a）x+1≥0在x∈（0，+∞）時恒成立，
由x²+（2-2a）x+1≥0，得2-2a≥-（x+$\frac{1}{x}$），
∵x＞0時，x+$\frac{1}{x}$≥2，∴2-2a≥-2，即a≤2，
故a的范圍是（-∞，2]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2時，f（x）=lnx+$\frac{4}{x+1}$在（0，+∞）遞增，
∵m＞n＞0，∴$\frac{m}{n}$＞1，∴f（$\frac{m}{n}$）＞f（1），
于是ln$\frac{m}{n}$+$\frac{4}{\frac{m}{n}+1}$＞2，
即lnm-lnn＞2-$\frac{4n}{m+n}$，
∴lnm-lnn＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．