Question

4．在極坐標系中，已知直線l的方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線C的方程為ρ=4sinθ，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 直線l的直角坐標方程為x-y+1=0，曲線C的直角方程為x²+（y-2）²=4，由此能求出線段AB的長．

解答 解：∵直線l的方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$ρsinθcos\frac{π}{4}$-$ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即ρsinθ-ρcosθ=1，
∴直線l的直角坐標方程為x-y+1=0，
∵曲線C的方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，
∴曲線C的直角方程為x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4，
∴曲線C是以C（0，2）為原點，2為半徑的圓，
∵圓心C（0，2）到直線x-y+1=0的距離d=$\frac{|0-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由勾股定理得線段AB的長：
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-p9vv5xb5^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$．

點評 本題考查直線與圓的弦長的求法，考查參數方程、極坐標方程、直角坐標方程等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．