Question

9．已知A₁，A₂為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的兩個頂點，以A₁A₂為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于M，N兩點，若△A₁MN的面積為$\frac{a^2}{2}$，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 由題意求得雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求得A₁（-a，0）到直線漸近線的距離d，根據三角形的面積公式，即可求得△A₁MN的面積，即可求得a和b的關系，利用雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{b}{a}$x，設以A₁A₂為直徑的圓與雙曲線的漸近線y=$\frac{b}{a}$x交于M，N兩點，
則A₁（-a，0）到直線y=$\frac{b}{a}$x的距離d=$\frac{丨a×0-b×a丨}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，
△A₁MN的面積S=$\frac{1}{2}$×2a×$\frac{ab}{c}$=$\frac{{a}^{2}b}{c}$=$\frac{a^2}{2}$，整理得：b=$\frac{1}{2}$c，
則a²=b²-c²=$\frac{3}{4}$c²，即a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．