Question

2．已知$f（x）=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）$
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的最大值，并寫出取最大值時自變量x的集合；
（3）求函數f（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的單調區間．

Answer 1

分析 （1）根據周期公式可得函數f（x）的最小正周期；
（2）根據三角函數性質可得最大值以及取最大值時自變量x的集合．
（3）求出函數f（x）的單調區間，即可求$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的單調區間．

解答 解：函數$f（x）=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）$
（1）函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值為1，
∴f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$，此時2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，
∴x=$\frac{π}{6}+kπ$．
故得$f{（x）_{max}}=\frac{1}{2}$，自變量x的集合為$\left\{{x\left|{x=\frac{π}{6}+kπ，k∈Z}\right.}\right\}$
（3）令$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴函數f（x）的單調增區間為[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$[{0，\frac{π}{6}}]$是單調遞增區間，
（3）令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}+kπ$．
∴函數f（x）的單調減區間為[$\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的，
∴$（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$是單調遞減區間．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質的運用，屬于基礎題．