Question

12．函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內的單調遞減區間是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標不變），所得到的圖象對用的函數記為g（x），若對于任意一的x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]，不等式-1＜g（x）-m＜1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據某一個周期內的單調遞減區間是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]．可知周期T=2（$\frac{11π}{12}$=$\frac{5π}{12}$）=π．當x=$\frac{5π}{12}$時，函數f（x）取得最大值，可得φ，即可求出f（x）的解析式；
（2）根據三角函數的平移變換規律，求出g（x），x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]，求出g（x）的值域，即可求出實數m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，一個周期內的單調遞減區間是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]．
∴可知周期T=2（$\frac{11π}{12}$=$\frac{5π}{12}$）=π．
即$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2．
那么f（x）=sin（2x+φ）
當x=$\frac{5π}{12}$時，函數f（x）取得最大值，
即2×$\frac{5π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
φ=2$kπ-\frac{π}{3}$．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$-\frac{π}{3}$，
∴f（x）的解析式為：f（x）=sin（2x$-\frac{π}{3}$）．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x$-\frac{π}{3}$），把f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個單位，可得sin[2（x-$\frac{π}{6}$）x$-\frac{π}{3}$]=sin（2x-$\frac{2π}{3}$），再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標不變），可得sin（4x-$\frac{2π}{3}$）=g（x）．
當x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]時，
可得：（4x-$\frac{2π}{3}$）∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
當4x-$\frac{2π}{3}$=$-\frac{π}{6}$時，f（x）取得最小值為$-\frac{1}{2}$．
當4x-$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為1．
不等式-1＜g（x）-m＜1恒成立，即m-1＜g（x）_min且g（x）_max＜1+m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1＜-\frac{1}{2}}\\{m+1＞1}\end{array}\right.$
解得：$0＜m＜\frac{1}{2}$
∴實數m的取值范圍（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質，三角函數的平移變換規律的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．