Question

3．已知函數f（x）=x²-2x+alnx（a＞0）
（Ⅰ）當a=1時，試求函數圖象過點（1，f（1））的切線方程；
（Ⅱ）當a=2時，若關于x的方程f（x）=3x+b有唯一實數解，試求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）若函數f（x）有兩個極值點x₁、x₂（x₁＜x₂），且不等式f（x₁）＞mx₂恒成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求當a=1時，函數的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）問題轉化為b=x²-3x+lnx有唯一實數解，（x＞0），令g（x）=x²-3x+lnx，（x＞0），根據函數的單調性求出g（x）的極值，從而求出b的范圍即可；
（Ⅲ）函數f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，不等式f（x₁）＞mx₂恒成立即為$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$＞m，令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），求出導數，判斷單調性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，有f（x）=x²-2x+lnx，
∵f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2x+1}{x}$，∴f′（1）=1，
∴過點（1，f（1））的切線方程為：y-（-1）=x-1，
即x-y-2=0．                          
（Ⅱ）當a=2時，有f（x）=x²-2x+2lnx，其定義域為（0，+∞），
從而方程f（x）=3x+b可化為：b=x²-5x+2lnx，
令g（x）=x²-5x+2lnx，則g′（x）=$\frac{{2x}^{2}-5x+2}{x}$，
由g′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2，g′（x）＜0，得$\frac{1}{2}$＜x＜2，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）上單調遞增，在（$\frac{1}{2}$，2）上單調遞減，
且g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{4}$-2ln2，g（2）=-6+2ln2，
又當x→0時，g（x）→-∞；當x→+∞時，g（x）→+∞，
∵關于x的方程f（x）=3x+b有唯一實數解，
∴實數b的取值范圍是b＜-6+2ln2或b＞-$\frac{9}{4}$-2ln2．
（Ⅲ）f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$（x＞0），
令f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，
當△=4-8a＞0且a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，由2x²-2x+a=0，得x₁，₂=$\frac{1±\sqrt{1-2a}}{2}$，
由f'（x）＞0，得0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$；
由f'（x）＜0，得 $\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
故若函數f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
由f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，則x₁+x₂=1，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
由0＜a＜$\frac{1}{2}$，可得0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，
$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{2x}_{1}+（{2x}_{1}-{{2x}_{1}}^{2}）l{nx}_{1}}{1{-x}_{1}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，
令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），
h′（x）=-1-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$+2lnx，
由0＜x＜$\frac{1}{2}$，則-1＜x-1＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$＜（x-1）²＜1，-4＜-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$＜-1，
又2lnx＜0，則h′（x）＜0，即h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，
即有h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$-ln2，即 $\frac{f（x）}{x}$＞-$\frac{3}{2}$-ln2，
即有實數m的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{2}$-ln2]．

點評 本題考查導數的運用：求切線方程和單調區間、極值，主要考查導數的幾何意義，同時考查函數的單調性的運用，以及不等式恒成立問題轉化為求函數的最值或范圍，屬于綜合題．