Question

5．在極坐標系中，已知圓C的極坐標方程為ρ²-2$\sqrt{2}ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）+1=0$，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程并寫出圓心坐標和半徑；
（Ⅱ）若$θ∈（{0，\frac{π}{3}}]$，直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=2+tsinθ}\end{array}}$（t為參數），點P的直角坐標為（2，2），直線l交圓C于A，B兩點，求$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）展開兩角差的余弦，結合公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ化極坐標方程我直角坐標方程，并求出圓心坐標和半徑；
（Ⅱ）把直線的參數方程代入圓的一般方程，利用根與系數的關系求出t₁+t₂=-2（sinθ+cosθ），t₁t₂=-1，化為關于θ的三角函數求解．

解答 解：（Ⅰ）由ρ²-2$\sqrt{2}ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）+1=0$，得${ρ}^{2}-2\sqrt{2}ρcosθcos\frac{π}{4}-2\sqrt{2}ρsinθsin\frac{π}{4}+1=0$，
即x²+y²-2x-2y+1=0，化為標準方程，得（x-1）²+（y-1）²=1．
∴圓C的圓心坐標為（1，1），半徑為1；
（Ⅱ）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=2+tsinθ}\end{array}}$代入x²+y²-2x-2y+1=0，
化簡得：t²+2（sinθ+cosθ）t+1=0，
△=4（1+sin2θ）-4=4sin2θ＞0在$θ∈（{0，\frac{π}{3}}]$時恒成立，
且t₁+t₂=-2（sinθ+cosθ），t₁t₂=-1，
∴$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}=\frac{1}{{2（{sinθ+cosθ}）}}=\frac{1}{{2\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）}}$，
∵$θ∈（{0，\frac{π}{3}}]$，∴$θ+\frac{π}{4}∈（{\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}}]$，
∴$2\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）∈（{2，2\sqrt{2}}]$，
∴$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{1}{2}}）$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查了參數方程化普通方程，關鍵是掌握直線參數方程中參數幾何意義的應用，是中檔題．