Question

5．已知F₁、F₂為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F₂做橢圓的弦AB．
（Ⅰ） 求證：△F₁AB的周長是常數；
（Ⅱ） 若：△F₁AB的周長為16，且|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|成等差數列，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的定義知，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，即可得出△F₁AB的周長是常數．
（Ⅱ）由周長為16，得a=4； 又|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|成等差數列，可得2|F₁F₂|=|AF₁|+|AF₂|，即4c=2a，解得c．再利用b²=a²-c²，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的定義知，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，∴△F₁AB的周長是常數4a．
（Ⅱ）由周長為16，得a=4； 又|AF₁|、|F₁F₂|、|AF₂|成等差數列，
∴2|F₁F₂|=|AF₁|+|AF₂|，
∴4c=2a，解得c=2．
b²=a²-c²=12．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．