Question

若△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C的對邊，已知sin2A+cos2A=1-sinA．
（1）求sin2A的值；
（2）若（c+b）²=4bc+4（b＜c），且sinC=2sinB，求邊c的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數的求值,解三角形

分析：（1）原式化簡可得sin2A=0，從而可求的2A=

π

2

，或

3π

2

（2）由（c+b）²=4bc+4可得c²+b²=2bc+4，由已知及由正弦定理得c=2b，即b=

c

2

，從而有有c2+

c2

4

=2×

c

2

×c+4，可解得：c=4

解答： 解：（1）sin2A+cos2A=1-sinA．
⇒2sinAcosA+2cos²A-1=1-sinA
⇒2sinA（cosA+1）=2sin²A，sinA≠0
⇒1=sinA-cosA
⇒1=1-2sinAcosA
⇒sin2A=0
⇒2A=kπ，k∈Z
∵0＜A＜π
∴0＜2A＜2π
∴2A=π
（2）∵（c+b）²=4bc+4
∴可得c²+b²=2bc+4
∵sinC=2sinB
∴由正弦定理得c=2b，即b=

c

2

∴有c2+

c2

4

=2×

c

2

×c+4，可解得：c=4

點評：本題主要考察了正弦定理、余弦定理的綜合應用，屬于基本知識的考查．