Question

直線y=x+b（b≠0）與拋物線C：y=

1

2

x²交于A、B兩點．
（1）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（2）O為拋物線的頂點，求b的值使得以線段AB為直徑的圓過原點．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）先將拋物線C的方程化為標準方程，進而可得拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線與拋物線方程，可得x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，y₁y₂=b²，若以線段AB為直徑的圓過原點，則

OA

⊥

OB

，則x₁x₂+y₁y₂=0，解得滿足條件的b值．

解答： 解：（1）拋物線C的標準方程為：x²=2y，
則拋物線C的焦點坐標為（0，

1

2

），
準線方程為y=-

1

2

；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2=2y y=x+b

得：x²-2x-2b=0，
則x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，則y₁y₂=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=b²，
若以線段AB為直徑的圓過原點，則

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=b²-2b=0，
解得：b=2，或b=0

點評：本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎題．