Question

設函數f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為

2π

3

（1）求ω的值；
（2）求函數f（x）的在[0，

π

3

]上的值域；
（3）若函數y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位長度得到，求y=g（x）的單調增區間．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）首先，化簡函數解析式，然后，根據周期公式確定ω的值；
（Ⅱ）結合正弦函數的性質進行求解；
（Ⅲ）根據平移，得到g（x）=

2

sin[3（x-

π

2

）+

π

4

]+2=

2

sin（3x-

5π

4

）+2，然后，根據正弦函數的圖象進行求解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx
=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+cos2ωx…（2分）
=sin2ωx+cos2ωx+2
=

2

sin（2ωx+

π

4

）+2，
依題意得

2π

2ω

=

2π

3

，
故ω的值為

3

2

．       …（5分）
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

3

，
∴

π

4

≤3x+

π

4

≤

5π

4

，…（6分）
∴-1≤

2

sin（3x+

π

4

）≤

2

…（8分），
∴1≤f（x）≤2+

2

，
即f（x）的值域為[1，2+

2

]…（9分）
（Ⅲ）依題意得：g（x）=

2

sin[3（x-

π

2

）+

π

4

]+2
=

2

sin（3x-

5π

4

）+2    …（11分）
由2kπ-

π

2

≤3x-

5π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，…（12分）
解得

2

3

kπ+

π

4

≤x≤

2

3

kπ+

7π

12

，k∈Z，
故y=g（x）的單調增區間為：[

2

3

kπ+

π

4

，

2

3

kπ+

7π

12

]，（k∈Z），…（13分）

點評：本題重點考查了三角恒等變公式的應用，三角函數的圖象與性質等知識，屬于基本知識的考查．