Question

將邊長為l的三個正方形面板粘合成一個空間圖形，其水平放置的直觀圖如圖所示．
（1）若E、F分別是A₁B₁、BB₁的中點，試判斷D₁E與CF是否共面，并說明理由；
（2）以此空間圖形為盛水容器，如果能保證粘合處都不漏水，那么此容器最多能盛多少體積的水？

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結EF，CD₁，A₁B，由已知得A₁D₁CB是平行四邊形，由此能證明D₁E與CF共面．
（2）最多能盛水的容積等于三棱錐C₁-B₁D₁C的體積．

解答： 解：（1）如圖，連結EF，CD₁，A₁B，
∵E、F分別是A₁B₁、BB₁的中點，∴EF∥A₁B，…（2分）
∵A₁D₁

∥

.

B₁C₁，B₁C₁

∥

.

BC，∴A₁D₁

∥

.

BC，…（3分）
∴A₁D₁CB是平行四邊形，∴A₁B∥CD₁，…（4分）
∴EF∥CD₁，…（6分）
∴EF，CD₁共面，即E，F，C，D₁四點共面，
故D₁E與CF共面．…（8分）
（2）依題意可知，
最多能盛水的容積等于三棱錐C₁-B₁D₁C的體積…（10分）
∴V=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．…（12分）

點評：本題考查兩直線是否共面的判斷，考查容器最多能盛多少體積的水的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．