Question

已知關于x的一元二次方程x²+（m-3）x-

1

4

（n²-4n）=0．
（1）m和n分別是拋擲兩枚骰子得到的點數，求上述方程有根的概率．
（2）若m，n∈R且0≤m≤6，0≤n≤6，求上述方程有根的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率,幾何概型

專題：概率與統計

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件數是6×6=36種結果，方程有實根要滿足判別式不小于0，即滿足（m-3）²+（n-2）²≥4，根據點和圓的位置關系，即可求出滿足條件的基本事件，根據概率公式計算即可
（2）根據幾何概型的概率求法，如圖所示，即可求出

解答： 解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件數是6×6=36種結果，
方程x²+（m-3）x-

1

4

（n²-4n）=0．有實根要滿足（m-3）²+（n²-4n）≥0，即（m-3）²+（n-2）²≥4，如圖所示
表示在以（3，2）位圓心以2位半徑的圓的外部或圓上，共有27種結果
故方程有根的概率P=

27

36

=

3

4

，
（2）試驗的全部結果所構成的區域為Ω={（m，n）|0≤m≤6，0≤n≤6}．
構成事件A的區域為{（a，b）|（（m-3）²+（n-2）²≥4}．
如圖四邊形DEGF的面積為7×7=49，
而圓的面積為4π，
則事件A的區域的面積為49-4π，
∴所以所求的概率P=

49-4π

49

=1-

4π

49

點評：本題考查了古典概型和幾何概型的概率的求法，關鍵是畫出圖象，屬于中檔題