Question

12．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上下兩個焦點分別為F₁，F₂，過點F₁與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，△MNF₂的面積為$\sqrt{3}$，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知O為坐標原點，直線l：y=kx+m與y軸交于點P，與橢圓C交于A，B兩個不同的點，若存在實數λ，使得$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據已知設橢圓的焦距2c，當y=c時，|MN|=|x₁-x₂|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，由題意得，△MNF₂的面積為$\frac{1}{2}×$|MN|×|F₁F₂|=c|MN|=$\frac{2{b}^{2}c}{a}=\sqrt{3}$，又∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a、b即可．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，y₀），分類討論：當m=0時，利用橢圓的對稱性即可得出；m≠0時，直線AB的方程與橢圓的方程聯立得到△＞0及根與系數的關系，再利用向量相等，代入計算即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根據已知設橢圓的焦距2c，當y=c時，|MN|=|x₁-x₂|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
由題意得，△MNF₂的面積為$\frac{1}{2}×$|MN|×|F₁F₂|=c|MN|=$\frac{2{b}^{2}c}{a}=\sqrt{3}$，
又∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得b²=1，a²=4，
橢圓C的標準方程為：x²+$\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）當m=0時，則P（0，0），由橢圓的對稱性得$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}，即\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$，
∴m=0時，存在實數λ，使得$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，
當m≠0時，由$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，得$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{OB}$，
∵A、B、p三點共線，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，得（k²+4）x²+2mkx+m²-4=0，
由已知得△=4m²k²-4（k²+4）（m²-4）＞0，即k²-m²+4＞0
且x₁+x₂=$\frac{-2km}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$．
由$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$得x₁=-3x₂
3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，∴$\frac{12{k}^{2}{m}^{2}}{（{k}^{2}+4）^{2}}+\frac{4（{m}^{2}-4）}{{k}^{2}+4}=0$，⇒m²k²+m²-k²-4=0
顯然m²=1不成立，∴${k}^{2}=\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$
∵k²-m²+4＞0，∴$\frac{4-{m}^{2}}{{m}^{2}-1}-{m}^{2}+4＞0$，即$\frac{（4-{m}^{2}）{m}^{2}}{{m}^{2}-1}＞0$．
解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．
綜上所述，m的取值范圍為（-2，-1）∪（1，2）∪{0}

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，考查了橢圓的簡單性質、涉及直線與橢圓相交問題，常轉化為關于x的一元二次方程，利用△＞0及根與系數的關系、向量相等等基礎知識與基本技能方法求解，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．